#Exemple simple au format AMC-TXT avec les copies pré-remplies

PaperSize: A4
Lang: FR

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CompleteMulti: 0
ManualDuplex:1
DefaultScoringM: p=0,formula=NBC-0.5*NMC
DefaultScoringS: formula=NBC-0.5*NMC 
Title: E2 Devoir 1: ALGEBRE LINEAIRE\\
28/11/2024 DUREE: 1h30\\
E. Lafferayrie\\

Presentation: Ce sujet comporte des questions QCM (12pts) et des questions à rédiger (9pts) dont un exercice à rédiger. Vous devez
{\bf cocher les affirmations vraies} et elles sont à choix multiple. Il peut donc y avoir aucune, une
ou plusieurs bonnes réponses pour chaque question. Une bonne réponse rapporte 1 point, une
mauvaise réponse cochée fait perdre 0,5 point. Si vous obtenez un score négatif à une
question, il sera ramené à 0.\\Vous devez cocher les cases voulues avec suffisamment de
contraste, sans dépasser de la case. Eviter le crayon de papier trop léger. En cas d'erreur
utilisez un typex et ne redessinez pas le bord de la case!\\


LaTeX: 1
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\usepackage{graphicx} % Pour les images
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\geometry{hmargin=2cm,headheight=2cm,headsep=.3cm,footskip=1cm,top=2.3cm,bottom=2cm}

Soit A une matrice carrée de taille n.



** Soit M une matrice carrée.
- Le vecteur nul est vecteur propre de toute valeur propre de
M \\
+ Si M est diagonalisable et inversible, alors $M^{-1}$ est aussi diagonalisable.
+ Si M est diagonalisable, il en est de même de $e^M$.
- Si M est diagonalisable alors toutes ses valeurs propres sont distinctes.
- Les valeurs propres de M sont sur sa diagonale.




** Soit $E = \left(\begin{array}{rc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\right)$.

+ Le polynôme caractéristique associé est : $x^2 - 3x - 1$.
- Le polynôme caractéristique associé est : $x^2 + 3x - 1$.
- Le polynôme caractéristique associé est : $x^2 - 3x + 1$.
+ $\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{13}$ est une valeur propre.
- E admet exactement 2 vecteurs propres.


** Soit $m$ un nombre réel et $A$ la matrice suivante:\\

$A=\left(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 1 \\-1 & 2 & 0 \\2-m & m-2 & 0
\end{array}\right)$.
+ le polynôme caractéristique de $A$ est donné par $\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)(
\lambda^2-2\lambda+m-2).$
+ Si $m=2$ alors A est diagonalisable.

- le polynôme caractéristique de $A$ est donné par $\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)
(-\lambda).$
- Si $m=3$ alors A est diagonalisable.


** Soit $C = \left(\begin{array}{rcl} 2 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right)$. On peut dire que:

- la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $-2$ est $0$.
+ la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $-2$ est $1$.
- la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $-2$ est $2$.
- un vecteur propre associé à la valeur propre $-2$ est donné par $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
+ un vecteur propre associé à la valeur propre $-2$ est donné par $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.
\\


**
Soit $A=\left(\begin{array}{rccl}3 &1&2&-1\\0&0&-5&1\\0&0&-2&-2\\0&0&0&-2 \end{array}\right)$.
 
-Les valeurs propres de A sont -3 ,0 et 2.
-Les valeurs propres de A sont 3 et -2.
+$\chi_A(\lambda)=(3-\lambda)(-\lambda)(2+\lambda)^2$ est le polynôme caractéristique de A.
+det(A)=0.


**
Soit A une matrice carrée de taille 3 non diagonale et $f$ l'endomorphisme associé.

+Si $f$ est non injectif alors 0 est valeur propre.
+Si $\lambda$ est une valeur propre de A alors il existe $X \in \mathrm{R}^{3}$ non nul tel que $AX=\lambda X$.
-Si rg(A)=3 alors 0 est valeur propre de A
-Si A admet une unique valeur propre d'ordre 3 alors A est diagonalisable dans $\mathrm{R}$.


*<lines=6>[next]{b=2,5}
 (2,5 pts) Soit A une matrice carrée de taille n diagonalisable tel qu'il existe P inversible et D diagonale telles que $A=PDP^{-1}$.\\
 
 
 Montrer que A et D ont les mêmes polynômes caractéristiques. En déduire que A et D ont les mêmes valeurs propres.\\
 Indication: On pourra utiliser le fait que $I=PP^{-1}$.\\
 
-[P]{0,5} 0,5
-[P]{1} 1
-[P]{2} 1,5
+[V]{2,5} 2,5 Zone réservée au professeur, ne pas cocher




*([shuffle=false,group=exo] \underline{{\bf EXERCICE: (6,5pts)}} { \bf Les 3 questions suivantes
appartiennent au même exercice.}\\

On pose $A=\left(\begin{array}{rc} 5 & -6 \\1 & 0\end{array}\right)$.\\

*<lines=6>[next]{b=2}
Justifier que $A$ est diagonalisable. \\
-[O]{1} 1
-[P]{1,5} 1,5
+[V]{2} 2 Zone réservée au professeur, ne pas cocher




*<lines=3>{b=1,5}
On admet que les sous-espaces propres sont donnés par :\\
$E_{3}=\mathrm{Vect}\left( \left(\begin{array}{c}3 \\1\end{array}\right)\right)$ 
et 
$E_{2}=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{c}2 \\1\end{array}\right)\right).$\\

Diagonaliser A en précisant D, P et $P^{-1}$.

-[P]{0.5} 0,5
-[P]{1} 1
+[V]{1,5} 1,5 Zone réservée au professeur, ne pas cocher


*<lines=9>{b=3}
Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 0$ et pour tout entier $n$
$$\left\{\begin{array}{rl} u_{n+1} = &5u_n -6v_n\\
v_{n+1} =& u_n
\end{array}\right.$$Déterminer les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ en rédigeant avec soin.\\

-[P]{1} 1
-[P]{2} 2
+[V]{3} 3 Zone réservée au professeur, ne pas cocher
*) { \bf FIN DE L'EXERCICE }\\


