

% !TEX encoding = Windows Latin 1

\documentclass[a4paper, 11 pt, twoside]{article}

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\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tikz}

%contenu de mécanique.sty:
% pour les vecteurs
\newcommand{\gv}[1]{\overrightarrow{#1}}		  			%grande fleche sur les vecteurs : \gv
\newcommand{\coordvecteur}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3 \end{pmatrix}}   %coordonnees de vecteurs
% pour les torseurs
\newcommand{\indicegauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2}   		%indice en bas a gauche (torseurs) \indicegauche
\newcommand{\nomtorseur}[2]{\left\{ \mathcal{#1}_{#2} \right\}}
\newcommand{\coordtorseur}[7]{\indicegauche{#1}{\begin{Bmatrix} #2 & #5 \\ #3 & #6 \\ #4 & #7 \end{Bmatrix}}}
%Commande pour tracer des figures planes: \figureplane
\newcommand\figureplane[9]{
\begin{tikzpicture}[scale=#9]
\draw[thick,->,#7] (0,0) -- (0:1) node[anchor=north west]{$\vec{#1}$};
\draw[thick,->,#7] (0,0) -- (90:1) node[anchor=north east]{$\vec{#3}$}; 
\draw[thick,->,#8] (0,0) -- (20:1) node[anchor=south east]{$\vec{#2}$}; 
\draw[thick,->,#8] (0,0) -- (110:1) node[anchor=north east]{$\vec{#4}$}; 
\fill[white] (0,0) circle (0.05);
\draw[thick,#7] (0,0) circle (0.05);
\fill[#7] (0,0) circle (0.01);
\draw (-0.05,0) node[anchor=north east] {$\vec{#5}$};
\draw[thick,->] (0.4,0) arc (0:20:0.4);
\draw[thick,->] (0,0.4) arc (90:110:0.4);
\draw (0.4,0.08) node[anchor=west] {$#6$};
\draw (-0.08,0.4) node[anchor=south] {$#6$};
\end{tikzpicture}
}

%efface le code des copies
\AMCidsPosition{pos=none}
%efface le symbole multi (trèfle)
\renewcommand{\multiSymbole}{}
%pas de séparation reponses sur plusieurs colonnes
\AMCBoxedAnswers

%Compteur des questions
\newcounter{numquestion}
\setcounter{numquestion}{1}

%%Redefinition des questions
%\newcommand{\begin{question}}[1]{\noindent \textbf{\textsc{Question \thenumquestion}} \hspace{1em}  \stepcounter{numquestion}}
%
%%Redefinition des reponses
%\newenvironment{reponses}{\begin{enumerate}[\begin{tabular}{|c|} \hline A \\ \hline \end{tabular}]}{\end{enumerate}}
%\newcommand{\mauvaise}[1]{\item{#1} }
%\newcommand{\bonne}[1]{\item{#1} }


\title{QCM Calcul vectoriel}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\exemplaire{1}{  

\begin{center}{\Large QCM - Calcul vectoriel et torseurs }\end{center}

\section*{Instructions}

\begin{itemize}
\item Certaines questions peuvent comporter plusieurs réponses exactes.
\item Seul le document réponse est à rendre.
\end{itemize}

\section*{Hypothèses}

Soit $B_0(\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0})$ une base orthonormée directe. On en déduit les bases $B_1$ et $B_2$ par deux rotations successives, comme représenté sur les deux figures ci-dessous.

\begin{tabular}{c c}
	\figureplane{z_0}{z_1}{x_0}{x_1}{y_0}{\alpha}{black}{black}{3} &
	\figureplane{x_1}{x_2}{y_0}{y_2}{z_1}{\theta}{black}{black}{3}
\end{tabular}
\[
B_0(\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0}) \quad \overset{\alpha}{\longrightarrow} \quad B_1(\vec{x_1},\vec{y_0},\vec{z_1})\quad \overset{\theta}{\longrightarrow} \quad B_2 (\vec{x_2},\vec{y_2},\vec{z_1})
\]

\section*{Produit scalaire}

\begin{question}{q\thenumquestion}
Le produit scalaire $\vec{z_0}\cdot\vec{z_1}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise{$0$}
			\mauvaise {$1$}
			\mauvaise {$\sin\alpha$}
			\bonne {$\cos\alpha$}
			\mauvaise {$-\sin\alpha$}
			\mauvaise {$-\cos\alpha$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}

\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit scalaire $\vec{y_0}\cdot\vec{z_1}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\bonne{$0$}
			\mauvaise{$1$}
			\mauvaise{$\sin\alpha$}
			\mauvaise{$\cos\alpha$}
			\mauvaise{$-\sin\alpha$}
			\mauvaise{$-\cos\alpha$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}


\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit scalaire $\vec{z_1}\cdot\vec{x_0}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$0$}
			\mauvaise {$1$}
			\bonne {$\sin\alpha$}
			\mauvaise {$\cos\alpha$}
			\mauvaise {$-\sin\alpha$}
			\mauvaise {$-\cos\alpha$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}


\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit scalaire $\vec{y_2}\cdot\vec{x_0}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$0$}
			\mauvaise {$1$}
			\mauvaise {$\sin\alpha\cos\theta$}
			\mauvaise {$\cos\alpha\sin\alpha$}
			\mauvaise {$-\sin\alpha\cos\theta$}
			\bonne {$-\cos\alpha\sin\theta$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}

\section*{Produit vectoriel}

\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit vectoriel $\vec{x_1}\wedge\vec{x_2}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$\vec{0}$}
			\mauvaise {$\cos\theta\vec{y_0}$}
			\mauvaise {$\sin\theta\vec{y_0}$}
			\mauvaise {$\cos\theta\vec{z_1}$}
			\bonne {$\sin\theta\vec{z_1}$}
			\mauvaise {$\vec{z_1}$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}


\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit vectoriel $\vec{z_1}\wedge\vec{y_0}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$\vec{x_0}$}
			\mauvaise {$- \vec{x_0}$}
			\mauvaise {$\vec{x_1}$}
			\mauvaise {$- \sin\theta\vec{x_1}$}
			\bonne {$- \vec{x_1}$}
			\mauvaise {$- \cos\alpha\vec{x_0}$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}



\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit vectoriel $\vec{y_0}\wedge\vec{x_2}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$\vec{z_1}$}
			\mauvaise {$\cos\theta\vec{x_1}$}
			\mauvaise {$-\sin\theta\vec{z_1}$}
			\mauvaise {$\sin\theta\vec{z_1}$}
			\mauvaise {$\cos\theta\vec{z_1}$}
			\bonne {$-\cos\theta\vec{z_1}$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}



\begin{question}{q\thenumquestion}Le produit vectoriel $\vec{y_2}\wedge\vec{x_1}$ vaut :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$-\vec{x_2}$}
			\mauvaise {$\sin\theta\vec{y_0}$}
			\bonne {$-\cos\theta\vec{z_1}$}
			\mauvaise {$-\sin\theta\vec{x_2}$}
			\mauvaise {$\sin\theta\vec{x_2}$}
			\mauvaise {$-\vec{z_1}$}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}

\section*{Torseurs}
Soit $R(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ un repère orthonormé direct, et deux points $A$ et $B$ de coordonnées : 
\[
A \coordvecteur{0}{0}{2} \qquad B \coordvecteur{1}{0}{0}
\]
Soit les torseurs $\nomtorseur{T}{1}$ et $\nomtorseur{T}{2}$ suivants :
\[
\nomtorseur{T}{1}=\coordtorseur{B}{0}{-1}{0}{2}{0}{1}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \qquad \nomtorseur{T}{2}=\coordtorseur{A}{-1}{-2}{1}{0}{2}{0}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}
\]


\begin{question}{q\thenumquestion}
La somme des torseurs $\nomtorseur{T}{1}+\nomtorseur{T}{2}$ vaut :
		\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{-1}{-3}{1}{2}{2}{1}$}
			\bonne {$\coordtorseur{A}{-1}{-3}{1}{0}{2}{0}$}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{0}{-1}{0}{2}{0}{1}$}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{-1}{2}{1}{-1}{3}{1}$}
			\mauvaise {$\coordtorseur{B}{-1}{-3}{1}{2}{2}{1}$}
			\mauvaise {$\vphantom{\coordtorseur{}{}{}{}{}{}{}}$Autre résultat}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}


\begin{question}{q\thenumquestion}
Le torseur d'action mécanique transmissible par une liaison appui-plan de normale $\vec{y}$ est de la forme :
		\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{T_x}{0}{T_z}{R_x}{R_y}{0}$}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{T_x}{T_y}{0}{0}{R_y}{0}$}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{R_x}{0}{R_z}{0}{T_y}{0}$}
			\mauvaise {$\coordtorseur{A}{X_A}{0}{Z_A}{0}{M_A}{0}$}
			\bonne {$\coordtorseur{A}{0}{Y_A}{0}{L_A}{0}{N_A}$}
			\mauvaise {$\vphantom{\coordtorseur{}{}{}{}{}{}{}}$Autre résultat}
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}


\begin{question}{q\thenumquestion}
La zone de validité de la forme du torseur d'action mécanique transmissible par une liaison appui-plan de normale $\vec{y}$ est :
		\begin{multicols}{3}
		\begin{reponses}
			\mauvaise {Le point A}
			\mauvaise {La droite $(A,\vec{z})$}
			\mauvaise{La droite $(A,\vec{y})$}
			\mauvaise {Le plan $(A,\vec{x},\vec{z})$}
			\mauvaise {Le plan $(A,\vec{y},\vec{z})$}
			\bonne {Tout l'espace}
			
		\end{reponses}
	\end{multicols}
\end{question} \stepcounter{numquestion}


\cleardoublepage

\AMCdebutFormulaire 

\begin{center}
{\Large \textsc{Document réponse}}
\end{center}

\textsc{Important : }noircir complètement l'intérieur des cases. La correction sera effectuée automatiquement par un dispositif de lecture optique.


\vspace*{10mm}
Numéro d'étudiant :

\noindent\lower4ex\hbox{\vbox{\AMCcodeH{numetud}{2}}}\hfill
\champnom{\fbox{\parbox{7cm}{Nom : \vspace*{10mm}}}}
\vspace*{20mm}


\formulaire

}
\end{document} 


