\documentclass[a4paper]{article}
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\input{portrait}

\def\multiSymbole{}
\AMCinterIrep=1ex

\setdefaultgroupmode{withoutreplacement}

\element{general}{
\centerline{\fbox{
\begin{minipage}{14cm}
\noindent On considère, dans l'espace vectoriel $\R ^4$, les vecteurs~:
\[
u=(1,2,3,0) \quad , \quad v=(0,-1,2,-2) \quad , \quad w=(3,7,7,2) \quad , \quad t=(1,2,3,1)
\]
On pose $F=\vect (u,v,w)$ et $H=\R . t$, et on note~:
\[
G= \{ (a,b,c,d) \in \R ^4 \, | \, a+b-d=0\}
\mbox{ et } K = \{ (\alpha , -\alpha+3\beta , 3\beta , 2 \alpha-2\beta) \, | \, (\alpha , \beta)\in \R ^2 \}
\]
\end{minipage}
}}

\ms

\begin{questionmult}{a1}

\ms

\begin{reponses}
\mauvaise{$F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R ^4$ de dimension 3.}
\mauvaise{$G \cup H$ est un sous-espace vectoriel de $\R ^4$.}
\bonne{$H$ est un supplémentaire de $G$ dans $\R ^4$.}
\mauvaise{$K$ est un sous-espace vectoriel de $\R ^4$ de dimension 2, et $F+K=\R ^4$.}
\end{reponses}
\end{questionmult}
}

\ms

\element{general}{
\centerline{\fbox{
\begin{minipage}{14cm}
\noindent Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie. On considère deux sous-espaces vectoriels $H$ et $K$ supplémentaires dans $E$.\\ On note $(e_1, e_2, \ldots , e_k)$ une base de $K$ et $a$ un élément de $H$.
\end{minipage}
}}

\ms

\begin{questionmult}{b2}

\ms

\begin{reponses}
\mauvaise{$\rg (e_1+a, e_2+a, \ldots , e_k+a)<k$.}
\bonne{$\vect (e_1+a,e_2+a, \ldots ,e_k+a)$ est un supplémentaire de $H$ dans $E$.}
\mauvaise{$\vect (e_1+a,e_2+a,\ldots ,e_k+a) = K$.}
\bonne{on peut montrer ici que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins deux supplémentaires.}
\end{reponses}
\end{questionmult}
}

\ms

\element{general}{
\centerline{\fbox{
\begin{minipage}{14cm}
\noindent On considère l'espace vectoriel $E=\R ^3$ et ${\cal B} = (e_1,e_2,e_3)$ sa base canonique.\\
Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ qui, à tout triplet $(x,y,z)$, associe le triplet $(x+3z,0,y-2z)$.
\end{minipage}
}}

\ms

\begin{questionmult}{c3}

\ms

\begin{reponses}
\mauvaise{$f(e_1)=e_1+3e_3$, $f(e_2)=0$, $f(e_3)=e_2-2e_3$.}
\bonne{$f(e_1)=e_1$, $f(e_2)=e_3$, $f(e_3)=3e_1-2e_3$.}
\mauvaise{$f$ est de rang 3 car $E$ est de dimension 3.}
\bonne{$f$ est de rang 2 car $(e_1,e_3)$ est une base de $\im (f)$.}
\end{reponses}
\end{questionmult}

\ms

\begin{questionmult}{d4}

\ms

\begin{reponses}
\mauvaise{$\Ker (f) = \{ \vec{0} \}$.}
\bonne{$\Ker (f)$ est de dimension 1 car $\dim (\Ker (f)) = \dim (E) - \rg (f)$.}
\mauvaise{$\Ker (f)$ est un sous-espace vectoriel de $\im (f)$ car $\dim (\Ker (f)) \leqslant \dim(\im (f))$.}
\mauvaise{l'égalité «$\dim (E) = \dim (\Ker (f) + \rg(f)$» suffit pour affirmer que $\Ker (f)$ et $\im (f)$ sont supplémentaires dans $E$.}
\end{reponses}
\end{questionmult}
}

\ms

\element{general}{
\centerline{\fbox{
\begin{minipage}{14cm}
\noindent Soit $E=\R ^3$. On note ${\cal B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $E$.\\ Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base ${\cal B}$ vaut $A=\begin{pmatrix}
-2 & -1 & 0\\ 3 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$, et $M=I_3+A+A^2$.\\ Soit ${\cal B'}=(e'_1,e'_2,e'_3)$ avec $e'_1=f^2(e_3)$, $e'_2=f(e_3)$ et $e'_3=e_3$.\\
On note $g$ l'endomorphisme de $E$ tel que $g(e_1)=e'_1$, $g(e_2)=e'_2$ et $g(e_3)=e'_3$. On note $B$ la matrice de $g$ dans la base ${\cal B}$.
\end{minipage}
}}

\ms

\begin{questionmult}{e5}

\ms


\begin{reponses}
\bonne{$A^3 = 0_3$, donc $f^3=\tilde{0}$.}
\bonne{${\cal B}'$ est une base de $E$ et la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$ est $A'=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$.}
\mauvaise{$(A-I_3)M=I_3$.}
\mauvaise{$M$ est inversible et $M^{-1}=I_3-A$.}
\end{reponses}
\end{questionmult}

\ms

\begin{questionmult}{f6}

\ms

\begin{reponses}
\mauvaise{$B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$.}
\mauvaise{$B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$.}
\bonne{$B^2=I_3$, donc $g$ est une symétrie.}
\bonne{$B$ est la matrice de passage de la base ${\cal B}$ à la base ${\cal B}'$, donc $A'=BAB$.}
\end{reponses}
\end{questionmult}
}

\exemplaire{2}{

\enonceds{6}
\madate{7 octobre 2016}

\exo{1}

\noindent Pour chacune des questions suivantes, cochez la ou les réponses qui vous paraissent justes.\\ {\bf Les réponses seront exclusivement portées sur la feuille annexée au sujet.}

\ms

\restituegroupe{general}

\ms

\exo{2}

  \partie{A} Étude de deux applications
  
\ms

\noindent La notation $\mathbb{R}_2[X]$ désigne $\mathbb{R}$-espace
    vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou
    égal à $2$. On identifiera dans la suite de ce problème les
    éléments de $\mathbb{R}_2[X]$ et leurs fonctions polynomiales
    associées. On note ${\cal B}=(1,X,X^2)$ la base canonique de
    $\mathbb{R}_2[X]$. On définit les deux applications suivantes :
    \[
    \begin{array}[c]{rccl}
      f\colon&\mathbb{R}_2[X]&\rightarrow&\mathbb{R}_2[X]\\
      &P&\mapsto&\frac{1}{2}\left[P\left(\frac{X}{2}\right) +
        P\left(\frac{X+1}{2}\right)\right]
    \end{array}
\]
et
\[
\begin{array}[c]{rccc}
  \varphi\colon&\mathbb{R}_2[X]&\rightarrow&\mathbb{R}\\
  &P&\mapsto&P(1)
\end{array}
\]
On rappelle aussi que l'on note $f^0=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}_2[X]}$,
et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$, $f^n=f\circ f^{n-1}$.

\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $f$ est bien à valeurs dans $\mathbb{R}_2[X]$ et
      montrer que $f$ est linéaire.
    \item
      Montrer que $\varphi$ est linéaire.
    \item
      Écrire la matrice de $f$ dans la base $\cal{B}$ de
      $\mathbb{R}_2[X]$, en indiquant les calculs intermédiaires.
    \item
      L'application $f$ est-elle injective~? surjective~?
    \item
   Déterminer une base de $\Ker\varphi$. Quelle est la dimension de
   $\Ker\varphi$~?
    \item
      L'application $\varphi$ est-elle injective~? surjective~?
\end{enumerate}

\ms

  \partie{B} Calcul des puissances successives d'une matrice
  
\ms

\noindent On note $I_3$ la matrice identité de ${\cal M}_3(\mathbb{R})$ et
$A$ la matrice 
\[A=
\begin{pmatrix}
  1&\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\ 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\
  0&0&\frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\]
Enfin, on note $\cal{B}'$ la famille de $\mathbb{R}_2[X]$ définie
par ${\cal B}'=(1,-2X+1,6X^2-6X+1)$.
     \begin{enumerate}
     
\item Justifier que la famille $\cal{B}'$ est une base de
       $\mathbb{R}_2[X]$.
    \item
      Écrire la matrice de passage $Q$ de $\cal{B}$ à
      $\cal{B}'$.
    \item
      Justifier que $Q$ est inversible et calculer son inverse.
    \item
      Écrire la matrice $M$ de $f$ dans la base $\cal{B}'$ en
      donnant les calculs intermédiaires.
    \item
      Calculer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. On explicitera les
      neuf coefficients de $A^n$.
    \item
      Pour $n\in\mathbb{N}$ et $P=a+bX+cX^2$ avec
      $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, déterminer $f^n(P)$ en fonction de
      $a,b,c$.
    \item
      En déduire que 
    \[\forall P\in\mathbb{R}_2[X],\quad\lim_{n\to+\infty}
    \varphi\left(f^n(P)\right) = \int_0^1P(t)\, \mathrm{d}t\]
    \end{enumerate}

\AMCcleardoublepage
\AMCdebutFormulaire

{\large\bf Feuille de réponses  exercice 1~:}
\hfill 
\champnom{\fbox{
\begin{minipage}{.5\linewidth}
Nom et prénom :

\vspace*{.5cm}\dotfill
\vspace*{1mm}
\end{minipage}
}}

\begin{center}
\bf\em Les réponses aux questions de l'exercice 1 doivent exclusivement être portées sur cette feuille~; les réponses portées sur les feuilles précédentes ne seront pas prises en compte.
\end{center}

\formulaire
}

\end{document}